柯西分布（Cauchy distribution）是概率课里著名的「反直觉」例子：看起来像正态的钟形，却 没有期望、没有方差。做机器学习或信号处理时，它常作为重尾噪声或稳健统计的对比分布出现。
密度函数
位置参数 (x_0)（location），尺度参数 (\gamma>0)（scale）时，概率密度为：
[ f(x; x_0, \gamma) = \frac{1}{\pi\gamma\left[1+\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} ]
当 (x_0=0,\ \gamma=1) 时得到 标准柯西分布：
[ f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)} ]
形态上关于 (x_0) 对称，峰值在 (x_0)，(\gamma) 控制「胖瘦」：(\gamma) 越大，尾巴越厚、峰越平。
和正态分布差在哪
| 性质 | 正态 | 柯西 |
|---|---|---|
| 尾部 | 指数衰减 | 多项式级重尾 |
| 期望 | 有 | 不存在（积分不绝对收敛） |
| 方差 | 有 | 不存在 |
| 大数定律 | 样本均值收敛 | 样本均值仍是柯西，不收敛到常数 |
| 中心极限 | 满足经典 CLT 条件 | 属于稳定分布另一分支 |
直观：极大的离群样本出现得足够频繁，把「平均」拉得没有极限。
为什么均值积分会挂
形式上写 (\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x),dx)，对标准柯西：
[ \int \frac{x}{\pi(1+x^2)} dx ]
是奇函数主值可为 0，但 不绝对可积，按概率论定义期望不存在。工程上若强行对柯西样本取平均，结果会剧烈跳动。
在哪会碰到
- 物理：受迫共振等场景下，功率谱或振幅响应可呈柯西型（Cauchy–Lorentz）。
- 稳健统计：用中位数、MAD 等代替均值/方差。
- 贝叶斯：Cauchy 可作重尾先验。
- 生成模型/噪声：模拟离群点比正态更「狠」。
采样与数值
标准柯西可用：
[ X = \tan(\pi(U-1/2)),\quad U\sim \mathrm{Uniform}(0,1) ]
或看作两个独立标准正态之比（相关构造）。数值上注意：(x) 很大时密度近似 (1/(\pi x^2))。
旧文配图说明
早期版本依赖 CSDN 外链公式图，长期会失效。本文改为公式直接书写；若需绘图，可用：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-10, 10, 1000)
f = 1/(np.pi*(1+x**2))
plt.plot(x, f)
plt.title("Standard Cauchy PDF")
plt.show()
小结
柯西分布提醒我们：钟形 ≠ 正态，也 ≠ 一定有均值。看到重尾数据时，先别急着报 mean±std，先问分布是否允许这两个量存在。